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Dec 04, 2023

Zum Ausbeutekriterium poröser Materialien nach dem Homogenisierungsansatz und Steigmann

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 10951 (2023) Diesen Artikel zitieren 118 Zugriffe 1 Altmetric Metrics Details In dieser Arbeit untersuchen wir das Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien mithilfe von

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In dieser Arbeit untersuchen wir das Ertragskriterium nanoporöser Materialien mithilfe des Homogenisierungsansatzes und des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells. Das repräsentative Volumenelement wird als unendliche Matrix vorgeschlagen, die einen winzigen Nanohohlraum enthält. Die Matrix ist inkompressibel, starr und perfekt plastisch, von Mises-Materialien und Nanohohlräume sind verdünnt und gleich groß. Zunächst wird anhand des Fließkriteriums das Konstitutiv aus mikroskopischer Spannung und mikroskopischer Dehnungsrate ermittelt. Zweitens wird gemäß dem Hill-Lemma die Beziehung zwischen dem makroskopischen Äquivalentmodul und dem mikroskopischen Äquivalentmodul durch einen Homogenisierungsansatz hergestellt. Drittens wird der makroskopische Äquivalentmodul, der das Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell einschließlich Oberflächenparameter, Porosität und Nanoporenradius enthält, aus dem mikroskopischen Versuchsgeschwindigkeitsfeld abgeleitet. Abschließend wird ein implizites makroskopisches Ausbeutekriterium für nanoporöse Materialien entwickelt. Für den Oberflächenmodul werden Nanoporenradius- und Porositätsstudien durch umfangreiche numerische Experimente entwickelt. Die Forschungsergebnisse in diesem Artikel haben Referenzbedeutung für das Design und die Herstellung nanoporöser Materialien.

Nanoporöse Materialien verfügen über herausragende Materialeigenschaften, darunter hohe Porosität1, große spezifische Oberfläche, hohe Wärmeleitfähigkeit, hohe elektrische Leitfähigkeit, hohe Energieadsorption und Korrosionsbeständigkeit. Aufgrund der überlegenen Eigenschaften nanoporöser Materialien wurden auch entsprechende Forschungsartikel entwickelt, darunter die Untersuchung des effektiven Moduls2,3, der elastischen Reaktion4,5,6,7 und der Festigkeitsanalyse nanoporöser Materialien8,9.

Unter diesen Studien beschränkt sich der Großteil der Literatur auf die Auswirkung mechanischer Oberflächen- und Grenzflächenreaktionen auf die elastischen Eigenschaften, während der Schwerpunkt nicht auf Festigkeitskriterien für nanoporöse Materialien gelegt wird, was wichtige Auswirkungen auf das Design und die Herstellung nanoporöser Materialien hat. In Bezug auf das Ausbeutekriterium poröser Materialien schlug Gurson1 das berühmte Gurson-Ausbeutekriterium vor, das auf dem experimentellen mikroskopischen Geschwindigkeitsfeld aus der Perspektive der Energie basiert. Der Einfluss des Hohlraumverhältnisses auf das makroskopische Fließkriterium wird im Gurson-Fließkriterium vollständig berücksichtigt, sodass das makroskopische Fließkriterium sowohl von der makroskopischen Äquivalentspannung als auch von der makroskopischen Durchschnittsspannung abhängt. Da die Auswirkungen von Hohlraumwechselwirkungen und Koaleszenz ignoriert wurden, verbesserte Tvergaard10 das Gurson-Ausbeutekriterium durch eine Kalibrierung mithilfe von Finite-Elemente-Elementarzellenberechnungen. Tvergaard und Needleman11 erweiterten das makroskopische Fließkriterium weiter anhand einer Reihe elastisch-plastischer Materialbeziehungen, bekannt als das berühmte GTN-Modell.

Für die Erforschung des Ertragskriteriums nanoporöser Materialien wenden Wissenschaftler hauptsächlich zwei Methoden an: numerische und theoretische12,13. Als wichtige numerische Methode wird die Finite-Elemente-Theorie auch bei der Untersuchung des Ausbeutekriteriums nanoporöser Materialien eingesetzt. Nasir et al.14 kombinierten eine Fließfunktion vom Gurson-Typ einschließlich Hohlraumgrößeneffekten mit der Finite-Elemente-Theorie, um die Formungsgrenze von Aluminiummaterialien basierend auf der Grenzflächenspannung der Membran um kugelförmige Hohlräume vorherzusagen. Die Ergebnisse zeigen, dass eine kleinere Hohlraumgröße zu einer Erhöhung der Duktilitätsgrenze des Materials führt. Espeseth et al.15 präsentierten eine numerische Studie einer auf finiten Elementen basierenden Elementarzelle, die aus einem einzelnen kugelförmigen Hohlraum besteht, der in ein Matrixmaterial eingebettet ist, wobei Größeneffekte durch ein poröses Kunststoffmodell mit Hohlräumen dargestellt werden. Espeseth untersuchte die Auswirkung der intrinsischen Längenskala des Matrixmaterials auf das Hohlraumwachstum und die Koaleszenz unter verschiedenen Spannungszuständen. Im Gegensatz zur klassischen Finite-Elemente-Theorie untersuchten Usman et al.16 die Auswirkung der Hohlraumform auf die Mikromechanismen des Hohlraumwachstums mithilfe diskreter Versetzungsplastizitätssimulationen und der erweiterten Finite-Elemente-Methode (XFEM) zur Modellierung von Verschiebungsdiskontinuitäten.

Bei der theoretischen Untersuchung nanoporöser Materialien besteht eine typische Methode darin, die Spannungsgradiententheorie an das Gurson-Modell zu koppeln. Durch die Kombination der Dehnungsgradiententheorie und des klassischen Gurson-Modells schlugen Li et al.17 ein makroskopisches Fließkriterium für sphärische repräsentative Volumenelemente (RVEs) für achsensymmetrische Zugtraktion vor. Monchiet et al.18 erweitern Gursons Ertragskriterium auf Grundlage der Dehnungsgradiententheorie und leiten eine näherungsweise geschlossene makroskopische Ertragsfunktion ab. Auf Basis der Dehnungsgradiententheorie wird die Forschung zum Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien unter komplexen Arbeitsbedingungen weiterentwickelt. Niordson und Tvergaard19 haben kürzlich die Theorie der Dehnungsgradientenplastizität mit dissipativen Gradienteneffekten auf endliche Dehnungen verallgemeinert, um den Größenskaleneffekt auf das Hohlraumwachstum unter verschiedenen Belastungsbedingungen zu quantifizieren. Ban20 betrachtet den Einfluss von Verformungsschäden auf der Grundlage der Dehnungsgradienten-Plastizitätstheorie und schlug ein modifiziertes inkrementelles Materialmodell vor, um den Kopplungseffekt von Größe und Schaden in mikrometallischen Materialien zu charakterisieren.

Neben der Dehnungsgradiententheorie ist auch die Kopplungsflächentheorie an der Schnittstelle repräsentativer Volumenelemente (RVE) eine neuere beliebte Praxis. Basierend auf dem traditionellen Gurson-Modell koppelten Dormieux und Kondo21 das Gurtin-Murdoch-Oberflächenmodell an der Innenfläche des kugelförmigen Hohlraums, um die makroskopische Fließfunktion nanoporöser Materialien abzuleiten, und untersuchten die Wirkung von Oberflächenparametern auf die makroskopischen Fließorte. Monchiet22 verwendete die gleiche Methode, um die makroskopische Fließfunktion nanoporöser Materialien mit viskoplastischer Matrix zu untersuchen. Als nächstes untersuchten Monchiet und Kondo23 das Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien unter ellipsoidem RVE weiter. Allerdings berücksichtigt das Gurtin-Murdoch-Oberflächenmodell nur die Oberflächenzugspannung, während die Existenz der Oberflächendruckspannung ignoriert wird24,25. Um diesen Mangel zu beheben, ermittelten Zheng und Mi13 das makroskopische Ertragskriterium nanoporöser Materialien auf der Grundlage des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells und untersuchten den Mechanismus des Oberflächenbiegemoments.

Anders als das Gurson-Modell ermittelt der Homogenisierungsansatz die makroskopische Ertragsfunktion nanoporöser Materialien aus der Perspektive der Energie, die von der Beziehung zwischen dem makroskopischen Äquivalentmodul und dem Matrixmodul abhängt. Aufgrund der Existenz kritischer Punkte der Elastizität und Plastizität können Wissenschaftler die makroskopische Fließfunktion nanoporöser Materialien aus der Perspektive der Elastizitätsgrenze und des plastischen Flusses ableiten. Zhang et al.26 leiteten die makroskopische Fließfunktion nanoporöser Materialien unter Berücksichtigung des Gurtin-Murdoch-Oberflächenmodells aus der Perspektive der Elastizitätsgrenze ab und untersuchten den Einfluss oberflächenelastischer Parameter auf die makroskopische Fließfunktion. Chen27 verwendete die gleiche Methode, um die makroskopische Ertragsfunktion nanoporöser Materialien mit säulenförmigem RVE zu untersuchen. Zheng und Mi28 kombinierten die Homogenisierungstheorie und das Gurson-Modell, um die makroskopische Ertragsfunktion von nanoporösen Materialien auf mehreren Skalen abzuleiten.

Neben der Analyse der Elastizitätsgrenze leiteten Dormieux und Kondo8 zunächst die makroskopische Fließfunktion nanoporöser Materialien aus der Perspektive des plastischen Fließens ab, bei dem die unvollständige Grenzfläche durch einen dünnen Film ersetzt wird. Um das Problem des plastischen Moduls zu lösen, ermittelten Brach et al.29 auf der Grundlage der Schichtmethode den äquivalenten plastischen Modul unter verschiedenen Schichten der Matrix und leiteten jeweils das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien ab. Anschließend30 wurde die makroskopische Ertragsfunktion nanoporöser Materialien mit allgemeiner Matrix unter achsensymmetrischen Bedingungen weiter untersucht. Die obige Analyse ignoriert jedoch den Einfluss der Oberflächendruckspannung auf die unvollständige Grenzfläche.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die vorherige Arbeit fortzusetzen, den Einfluss der Oberflächendruckspannung auf unvollständige Grenzflächen aus der Perspektive des plastischen Fließens zu betrachten und das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien zu ermitteln. Basierend auf dem Kriterium des plastischen Fließens wird zunächst der plastische Bestandteil der von Mises-Matrix untersucht. Zweitens wird durch den Homogenisierungsansatz der äquivalente Schermodul der Matrix ermittelt. Drittens wird gemäß dem Energieerhaltungssatz der Zusammenhang zwischen dem makroskopischen Äquivalentmodul und dem mikroskopischen Äquivalentmodul abgeleitet. Schließlich wird das makroskopische Ausbeutekriterium des nanoporösen Materials unter Berücksichtigung des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells durch das Versuchsgeschwindigkeitsfeld ermittelt.

Der Rest dieser Arbeit ist wie folgt aufgebaut. Abschnitt 2 beschreibt den Homogenisierungsansatz und die Ableitung des makroskopischen Äquivalentmoduls, das das Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell enthält. Gemäß dem Lemma von Hill wird das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien ermittelt. In Abschnitt 3 werden umfangreiche parametrische Studien durchgeführt, um die Auswirkungen des Oberflächenmoduls, des Schermoduls, der Biegesteifigkeit, des Nanohohlraumradius und der Porosität von Nanohohlräumen auf die Fließorte nanoporöser Materialien zu untersuchen. In Abschnitt 4 werden abschließende Bemerkungen gemacht.

Die nanoporösen Materialien enthalten sphärische Nanohohlräume und das repräsentative Volumenelement (RVE).

Abbildung 1 zeigt die nanoporösen Materialien, die im Inneren mehrere Nanohohlräume enthalten. Es wird angenommen, dass alle mehreren Nanohohlräume denselben Radius haben und weit voneinander entfernt sind, sich aber zufällig im Raum verteilen. Um einen Nanohohlraum als repräsentatives Volumenelement (RVE) abzufangen, wird ein Standard-Mori-Tanaka-Modell in Betracht gezogen, das vollständig mit dem Bild auf der rechten Seite von Abbildung 1 übereinstimmt. a und b werden als Innen- und Außenradien bezeichnet RVE bzw. Unter diesen ist die Größe des Außenradius viel größer als die des Innenradius (\(a \gg b\)). Die von Hohlraum, Matrix und RVE eingenommenen Volumina werden mit \(V_1\), \(V_2\) bzw. \(V_3\) bezeichnet. Die äußere Grenze des RVE ist einer willkürlichen achsensymmetrischen makroskopischen Dehnungsrate (\(\textbf{D}\)) ausgesetzt.

Nehmen wir an, dass die Matrix des RVE das von Mises-Ertragskriterium erfüllt. Die Fließfläche der Matrix wird mit \(g \left( {{\sigma }} \right)\ bezeichnet:

wobei \({{\sigma }}_d\) und \(\sigma _Y\) für die mikroskopische Deviatorspannung und die mikroskopische Fließgrenze für das gesamte RVE stehen. Mithilfe des plastischen Fließkriteriums lässt sich die mikroskopische Dehnungsrate leicht ermitteln:

wobei \({\dot{\lambda }}\) die plastische Fließgeschwindigkeit bezeichnet. Zur Vereinfachung der späteren Ableitung können hier der mittlere Projektionstensor vierter Ordnung \({\mathbb {J}}\) und der deviatorische Projektionstensor \({\mathbb {K}}\) eingeführt werden. Ihre Tensorform kann durch Indexnotation dargestellt werden:

wobei \(\delta _{ij}\) und \(I_{ijkl}\) einen Identitätstensor zweiter Ordnung und einen Identitätstensor vierter Ordnung angeben. Mit dem Projektionstensor kann Gleichung (2) leicht vereinfacht werden zu

Gleichzeitige Multiplikation des deviatorischen Projektionstensors auf beiden Seiten der Gleichung (4):

Es ist nicht schwierig, den Ausdruck der mikroskopischen deviatorischen Spannung durch den deviatorischen Projektionstensor vierter Ordnung zu erhalten:

Ersetzen von Gl. (6) In die Fließfunktion (1) der Matrix im Grenzzustand kann die plastische Fließgeschwindigkeit (\({\dot{\lambda }}\)) abgeleitet werden

wobei \(\mathbf {d'}\) die mikroskopische deviatorische Dehnungsrate bezeichnet. Wenn man die Form der mikroskopischen Spannung und der mikroskopischen Dehnungsrate kennt, kann die maximale plastische Dissipation an jedem Punkt in der RVE-Matrix ausgedrückt werden als:

Hier nutzen wir das Prinzip der plastischen Dissipationskonsistenz, um nach der äquivalenten Dehnungsrate (\(d_{eq}\)) im Grenzzustand zu suchen

Die plastische Materialgleichung der mikroskopischen Spannung kann durch das Kriterium des plastischen Fließens abgeleitet werden

wobei \(\pi \left( \mathbf{{d}} \right)\) die Fließfunktion der Matrix in Bezug auf die mikroskopische Dehnungsrate mit den Gleichungen (6, 7) bezeichnet. Hier führen wir den plastischen Stofftensor vierter Ordnung (\({\mathbb {C}}_2\)) der Matrix ein, um die folgende Ableitung zu unterstützen

Da die Matrix inkompressibel ist, kann der für die mikroskopische Spannung konstitutive Kunststoff durch den deviatorischen Dehnungsprojektionstensor vierter Ordnung vereinfacht werden. Der Schubmodul der Plastizität \({\mu _2}^\prime \left( {\mathbf{{d'}}} \right)\) ist eine Funktion der mikroskopischen deviatorischen Dehnungsrate. Durch die Gleichungen (10, 11) ist es nicht schwierig, den funktionalen Ausdruck des plastischen Schermoduls zu erhalten

Die nicht konstante Natur des plastischen Schermoduls kann die Schwierigkeit, die Dissipation zu lösen, erheblich erhöhen. Um dieses Rätsel zu lösen,8 wurde ein mikroskopischer Äquivalentmodul-Schermodul-Ansatz durch Homogenisierung vorgeschlagen

wobei \(\mu _2\) der durchschnittliche plastische Schubmodul ist. Wir führen eine deviatorische Referenzdehnungsrate ein, definiert als

Der Ausdruck des durchschnittlichen Operators ist

Das Hill-Lemma wird vorgestellt

wobei der durchschnittliche Operator hier auf das makroskopische repräsentative Volumen nanoporöser Materialien einwirkt, wie in der linken Abbildung von Abbildung 1 dargestellt.

Die plastische Dissipation des RVE aus der Makroperspektive wird ausgedrückt als

Für makroskopische RVE werden die äquivalenten plastischen Volumen- und Schubmodule als Konstanten angenommen und mit \(\kappa _3\) und \(\lambda _3\) bezeichnet. Da die äußere Grenze von RVE einer gleichmäßigen Dehnungsrate ausgesetzt ist, ist die makroskopische Dehnungsrate konstant.

In Kombination mit den Gleichungen (13,14) wird die plastische Dissipation des RVE aus Mikroperspektive ausgedrückt als

In Kombination mit dem Lemma von Hill und der Energiestörung (17,18) wird die Beziehung zwischen der makroskopischen Dehnungsrate und der mikroskopischen Dehnungsrate bei der minimalen potentiellen Energie hergestellt

Das makroskopische Ertragskriterium kann weiter festgelegt werden

Wo

Aus Gleichung (20) lässt sich erkennen, dass das makroskopische Fließkriterium nur von der Porosität (f), dem mikroskopischen äquivalenten Schermodul (\(\mu _2\)) und den makroskopischen äquivalenten Volumen- und Schermodulen (\(\) abhängt. kappa _3\) und \(\mu _3\)).

Für jede makroskopische Dehnungsrate kann das Dehnungsratenfeld in der Hauptrichtung durch Koordinatentransformation erhalten werden. Als Grundform wird in dieser Arbeit nur der rotationssymmetrische Fall betrachtet. Die makroskopische Dehnungsrate des kartesischen Koordinatensystems in der Hauptrichtung wird ausgedrückt als:

wobei die makroskopische mittlere Dehnungsrate und die makroskopische deviatorische Dehnungsrate mit \(D_m\) bzw. \(D_e\) bezeichnet werden. Unter diesen werden die makroskopischen äquivalenten Volumen- und Schermoduli nur durch die makroskopische mittlere Dehnungsrate bzw. die makroskopische deviatorische Dehnungsrate erzeugt.

Nun werden wir feststellen, dass das mikroskopische Geschwindigkeitsfeld nur durch die makroskopische mittlere Dehnungsrate erzeugt wird:

wobei die hochgestellten Ziffern 1 und 2 die Einschlüsse bzw. die Matrix des mikroskopischen RVE bezeichnen. Die mikroskopische Dehnungsrate kann durch geometrische Gleichungen ermittelt werden

Stellen Sie die Stoffgleichung der mikroskopischen Spannung auf

wobei \(\lambda _{1,2} = {{\left( {3\kappa _{1,2} - 2\mu _{1,2} } \right) } /3}\).

Es gibt vier unbekannte Koeffizienten im mikroskopischen Geschwindigkeitsfeld, die durch Randbedingungen bestimmt werden müssen. Die kinematischen Gleichungen sollten am äußeren Rand erfüllt sein.

Wenn man bedenkt, dass das Geschwindigkeitsfeld im Mittelpunkt der Kugel nicht singulär sein kann, sollte die Form des unbekannten Koeffizienten \(G_1\) so sein

An der Schnittstelle sollte die Kontinuitätsbedingung des Geschwindigkeitsfeldes gewährleistet sein

Die Steigmann-Ogden-Gleichungen5 für die Kraftgleichgewichtsbedingung über eine feste Grenzfläche werden wie folgt beschrieben

wobei \(\nabla _S\), \(\varvec{\tau }\), \(\textbf{M}\) und \(\textbf{n}\) den Oberflächenprojektionsgradienten in sphärischen Koordinaten und die Oberflächenspannung bezeichnen , Oberflächenbiegemoment bzw. äußerer Einheitsnormalenvektor der Kugel. Zur Vereinfachung der Lösung werden der Oberflächenprojektionstensor zweiter Ordnung \(T_{ij}\) und der Normalprojektionstensor \(N_{ij}\) eingeführt

Es ist leicht festzustellen, dass der Oberflächenprojektionstensor und der Normalprojektionstensor orthogonal und normal sind.

Teilen Sie den Gradientenoperator in Normalenrichtung und Oberflächenrichtung auf

wobei der Oberflächengradientenoperator \(\nabla _S\) in Indexnotation als \({T_{ij}}\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\) geschrieben wird. Das Oberflächenbiegemoment wird ausgedrückt als

Die Oberflächenspannung wird ausgedrückt als

Durch die oben genannten Bemühungen kann die Grenzflächenspannungsbedingung (29) mit Oberflächeneffekt umgeschrieben werden als

Durch Berechnung kann es ermittelt werden

Der Oberflächenspannungszustand des Steigmann-Ogden-Modells kann weiter umgeschrieben werden als

Unter Verwendung des Versuchsgeschwindigkeitsfelds wird der Steigungsänderungsvektor \(\vartheta _i\) geschrieben als

Daraus kann geschlossen werden, dass das Oberflächenbiegemoment aufgrund von \(M_{ij}=0\) nicht unter der Wirkung der makroskopischen mittleren Dehnungsrate beteiligt ist. Daher degeneriert der Oberflächenspannungszustand des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells zum Oberflächenspannungszustand des Gurtin-Murdoch-Oberflächenmodells.

Durch die oben genannten vier Randbedingungen (26, 27, 28, 39) können die vier unbekannten Koeffizienten (\(F_1,F_2,G_1,G_2\)), die im mikroskopischen Geschwindigkeitsfeld enthalten sind, eindeutig bestimmt werden.

Definieren Sie die durchschnittliche mikroskopische Dehnungsrate als2:

Die durchschnittliche Dehnungsrate der Matrix und die durchschnittliche Dehnungsrate der Einschlüsse werden ausgedrückt als

Wo

Dann werden die mikroskopische äquivalente Dehnungsrate und Spannung des Mikro-RVE geschrieben als

Wo

Durch die Kombination der Gleichungen (43,44) kann der makroskopische äquivalente Kompressionsmodul ermittelt werden

Wenn man davon ausgeht, dass es sich bei dem Einschluss um einen Nanohohlraum handelt, sind sein Kompressionsmodul (\(\kappa _1\)) und sein Schermodul (\(\mu _1\)) beide 0. Da die mikroskopische Matrix eine von Mises-Matrix ist, beträgt der mikroskopische Kompressionsmodul unendlich. Der makroskopische äquivalente Kompressionsmodul kann weiter vereinfacht werden

Der makroskopische Schermodul wird nur durch die makroskopische deviatorische Dehnungsrate beeinflusst:

Zu diesem Zweck wird das mikroskopische Geschwindigkeitsfeld, das nur dem makroskopischen deviatorischen Dehnungsratenfeld ausgesetzt ist, ausgedrückt als

wobei \({P_2}\left( {\cos \varphi } \right)\) das Legendre-Polynom zweiter Ordnung ist.

Ersetzen Sie unter Berücksichtigung der geometrischen und konstitutiven Gleichungen (24a,b, 25a,b) die mikroskopische Spannung in die Spannungsgleichgewichtsgleichung:

Basierend auf Gleichung (49a-b) können acht unbekannte Koeffizienten im mikroskopischen Geschwindigkeitsfeld bestimmt werden als

Es gibt noch 8 unbekannte Koeffizienten im mikroskopischen Geschwindigkeitsfeld, die durch Randbedingungen bestimmt werden müssen. Zunächst müssen die kinematischen Gleichungen an der Grenze des mikroskopischen RVE erfüllt werden.

Durch Berechnung kann die Form der beiden Koeffizienten ermittelt werden

Zweitens sollte das mikroskopische Geschwindigkeitsfeld im Zentrum des mikroskopischen RVE Singularität vermeiden, was dies erfordert

Drittens sollte das mikroskopische Geschwindigkeitsfeld an der Grenzfläche die Kontinuitätsbedingung erfüllen:

Durch Lösen der Gleichung (54a,b) können zwei unbekannte Koeffizienten erhalten werden

Schließlich muss die Spannungsbedingung, die das Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell enthält, an der Grenzfläche erfüllt werden.

Gemäß der Lösung von Gleichung (56) können schließlich die spezifischen Ausdrücke von \(F_{11}\) und \(F_{23}\) erhalten werden.

Angesichts der Definition der mikroskopischen Dehnungsratengleichung (40) kann die mikroskopische durchschnittliche Dehnungsrate der Matrix und der Einschlüsse wie folgt geschrieben werden:

Basierend auf der durchschnittlichen mikroskopischen Dehnungsrate kann die durchschnittliche Spannung ausgedrückt werden als:

Mithilfe der Gleichungen (57, 58, 42a-e) kann der makroskopische äquivalente Schermodul leicht abgeleitet werden

Wo

Schließlich kann durch Einsetzen der Gleichungen (59, 45) in Gleichung (20) das makroskopische Ausbeutekriterium poröser Metalle mit dem Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell endgültig abgeleitet werden.

Im vorherigen Abschnitt haben wir das Ertragskriterium poröser Materialien mithilfe des Homogenisierungsansatzes und des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells abgeleitet. Das Fließkriterium ist analytisch und implizit in Bezug auf die makroskopischen Mittel- und Vergleichsspannungen. Der Zweck dieses Abschnitts besteht darin, die Auswirkung der Parameter des Steigmann-Ogden-Oberflächenmodells, des Radius des Nanohohlraums und der Porosität, auf das makroskopische Ertragskriterium zu untersuchen. Für den mikroskopischen RVE wird das Matrixmaterial als Aluminium mit dem Schermodul \(\mu _2=23,6\) GPa und der Streckgrenze \(\sigma _Y=250\) MPa behandelt. Nach Tians Forschung31 werden zwei Sätze von Oberflächen-Volumenmodulen und Schermodulen für die Oberfläche von Nanohohlräumen berücksichtigt: Fall 1 (\(\kappa _0=12,95\) nN/nm, \(\mu _0=-0,376\) nN/nm) und Fall 2 (\(\kappa _0=-3,86\) nN/nm, \(\mu _0=-5,43\) nN/nm). Für die Oberflächenbiegemodule von Nanohohlräumen, die zusätzlich im Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell berücksichtigt werden, werden drei Oberflächenparameter berücksichtigt (\(\eta _0=0,-30,-60\)nN nm). Zum Vergleich sind in der Abbildung soweit möglich auch die klassischen Lösungen ohne Berücksichtigung der Oberflächeneffekte aufgeführt.

Einfluss des Oberflächenbiegemoduls (\(\eta _0\)) auf die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium. Die Porosität und der Nanoporenradius werden als \(f = 0,1\) und \(a=1\) nm angenommen. Es werden zwei Sätze von Oberflächen-Volumenmodulen und Schermodulen berücksichtigt: Fall 1 (\(\kappa _0=12,95\) nN/nm, \(\mu _0=-0,376\) nN/nm) und Fall 2 (\(\kappa _0 =-3,86\) nN/nm, \(\mu _0=-5,43\) nN/nm).

Abbildung 2 zeigt die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium bei verschiedenen Oberflächenbiegemodulen. Die Porosität und der Nanoporenradius werden als \(f = 0,1\) und \(a=1\) nm angenommen. Es ist deutlich zu erkennen, dass Fall 1 die Mittel- und Vergleichsspannungen der makroskopischen Fließorte effektiv erhöht, während Fall 2 die makroskopischen Mittel- und Vergleichsspannungen reduziert. Wenn der Oberflächenbiegemodul (\(\eta _0\)) als 0 angenommen wird, degeneriert das Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell zum Gurtin-Murdoch-Oberflächenmodell. Aus Abb. 2 lässt sich daher schließen, dass der Flächenbiegemodul nur die Vergleichsspannung der makroskopischen Fließorte beeinflusst, nicht die Mittelspannung. Die Vergleichsspannung der makroskopischen Fließorte wird unabhängig von der Änderung des Oberflächenbiegemoduls verstärkt.

Einfluss des Nanohohlraumradius (a) auf die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium. Die Porosität und der Oberflächenbiegemodul werden als \(f = 0,1\) und \(\eta _0=-30\)nN \(\cdot\) nm angenommen. Es werden zwei Sätze von Oberflächen-Volumenmodulen und Schermodulen berücksichtigt: Fall 1 (\(\kappa _0=12,95\) nN/nm, \(\mu _0=-0,376\) nN/nm) und Fall 2 (\(\kappa _0 =-3,86\) nN/nm, \(\mu _0=-5,43\) nN/nm).

Abbildung 3 zeigt die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium bei verschiedenen Nanohohlraumradien. Die Porosität und die Oberflächenbiegemodule werden als \(f = 0,1\) bzw. \(\eta _0=-30\)nN nm angenommen. Ein bemerkenswertes Phänomen ist, dass unabhängig vom Wert des Nanohohlraumradius Fall 1 die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium vergrößert, während Fall 2 die makroskopischen Fließorte verengt. Unabhängig von Fall 1 oder Fall 2 nimmt der Oberflächeneffekt mit zunehmendem Nanohohlraumradius schnell ab und nähert sich der klassischen Lösung an. Im Vergleich zu Fall 1 kann Fall 2 die mittlere Spannung der makroskopischen Fließorte effektiv verändern, während die Auswirkung auf die äquivalente Spannung sehr begrenzt ist.

Einfluss der Porosität (f) auf die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium. Der Nanohohlraumradius und der Oberflächenbiegemodul werden als \(a = 1\)nm und \(\eta _0=-30\)nN nm angenommen. Es werden zwei Sätze von Oberflächen-Volumenmodulen und Schermodulen berücksichtigt: Fall 1 (\(\kappa _0=12,95\) nN/nm, \(\mu _0=-0,376\) nN/nm) und Fall 2 (\(\kappa _0 =-3,86\) nN/nm, \(\mu _0=-5,43\) nN/nm).

Abbildung 4 zeigt die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium bei unterschiedlicher Porosität. Der Nanohohlraumradius und der Oberflächenbiegemodul werden als \(a = 1\)nm bzw. \(\eta _0=-30\)nN nm angenommen. Es ist zu beobachten, dass mit zunehmender Porosität die makroskopischen Fließorte deutlich schrumpfen. Wenn die Porosität mit 0 angenommen wird, ist der Oberflächeneffekt nicht vorhanden. Und die makroskopischen Fließorte von nanoporösem Aluminium werden zu den von Mises-Fließorten degenerieren. Ein weiteres offensichtliches Phänomen besteht darin, dass Fall 1 die Vergleichsspannung der makroskopischen Fließorte deutlich erhöht, während Fall 2 einen sehr schwachen Einfluss auf die Vergleichsspannung hat. Mit zunehmender Porosität wird der verstärkende Effekt von Fall 1 auf die Vergleichsspannung der makroskopischen Fließorte kontinuierlich verstärkt.

In diesem Artikel haben wir ein makroskopisches Ertragskriterium für nanoporöse Materialien entwickelt, das auf dem Homogenisierungsansatz und dem Steigmannn-Ogden-Oberflächenmodell basiert. Das RVE wird als das klassische Mori-Tanaka-Modell beschrieben, das heißt, eine unendliche Matrix, die einen winzigen Nanohohlraum enthält. Die Oberflächeneffekte von Nanohohlräumen werden an der Grenzfläche zwischen Nanohohlraum und Matrix angewendet. Basierend auf dem Homogenisierungsansatz wird zunächst das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien ermittelt, das die Abhängigkeit des makroskopischen Äquivalentmoduls und des mikroskopischen Gleichmoduls umfasst. Zweitens kann basierend auf der Erstellung des Versuchsgeschwindigkeitsfelds der makroskopische Äquivalentmodul einschließlich des Einflusses des Steigmannn-Ogden-Modells ermittelt werden. Abschließend wird ein implizites makroskopisches Ausbeutekriterium für nanoporöse Materialien abgeleitet. Basierend auf dem Oberflächenmodul, der Porosität und dem Nanoporenradius wurden entsprechende Studien entwickelt und im Detail analysiert. Auf der Grundlage umfangreicher Parameterstudien können einige wichtige Schlussfolgerungen wie folgt gezogen werden.

Unterschiedliche Oberflächenmoduli haben unterschiedliche regulatorische Auswirkungen auf das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien. Positive Oberflächenmoduli erhöhen die makroskopischen Fließorte deutlich, während negative Oberflächenmoduli die makroskopischen Fließorte leicht verringern.

Der Flächenbiegemodul beeinflusst nur die Vergleichsspannung der makroskopischen Fließorte und hat keinen Einfluss auf die Mittelspannung.

Der Einfluss von Oberflächeneffekten auf das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien hängt stark von der Größe des Nanohohlraumradius ab. Je kleiner der Radius der Nanopore ist, desto deutlicher ist der Oberflächeneffekt.

Das makroskopische Ausbeutekriterium nanoporöser Materialien hängt stark von der Größe der Porosität ab. Je größer die makroskopische Porosität, desto deutlicher ist die Schrumpfung der makroskopischen Fließorte.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Diese Arbeit wurde durch das Innovationsprojekt der Huadong Engineering Corporation Limited [Grant Numbers KY2023-SD-02-02] unterstützt.

Huadong Engineering Corporation Limited, Hangzhou, 311122, Zhejiang, China

Chenyi Zheng, Hongzhen Wang, Yali Jiang und Gaohui Li

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Beide Autoren waren maßgeblich an der Recherche und Erstellung dieses Manuskripts beteiligt. HW und YJ konzipierten, gestalteten und verfassten die Forschung. CZ und GL führten die analytische Ableitung der Ertragsfunktion und des Geschwindigkeitsfeldes durch und führten auch die parametrische Analyse durch. Beide Autoren stimmten der endgültigen Fassung des Manuskripts und seiner Einreichung zu.

Korrespondenz mit Chenyi Zheng oder Gaohui Li.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Zheng, C., Wang, H., Jiang, Y. et al. Zum Ausbeutekriterium poröser Materialien durch den Homogenisierungsansatz und das Steigmann-Ogden-Oberflächenmodell. Sci Rep 13, 10951 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-38050-8

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Eingegangen: 18. Februar 2023

Angenommen: 02. Juli 2023

Veröffentlicht: 06. Juli 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-38050-8

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